K. Drach
Some sharp estimates for convex hypersurfaces of pinched normal curvature //
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry,
vol. 11, No. 2, pp. 111-122, 2015
For a convex domain $D$ bounded by the hypersurface $\partial D$ in a space of constant curvature we give sharp bounds on the width $R-r$ of a spherical shell with radii $R$ and $r$ that can enclose $\partial D$, provided that normal curvatures of $\partial D$ are pinched by two positive constants. Furthermore, in the Euclidean case we also present sharp estimates for the quotient $R/r$. From the obtained estimates we derive stability results for almost umbilical hypersurfaces in the constant curvature spaces.
Ключові слова: convex hypersurface, spaces of constant curvature, pinched normal curvature, $\lambda$-convexity, spherical shell
А.А. Борисенко, К.Д. Драч
Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей //
Доповіді НАН України,
(3): 11-16, 2015
Для выпуклой области $D$, границей которой является гиперповерхность $\partial D$ ограниченной нормальной кривизны, мы приводим доказательство теорем сравнения углов между $\partial D$ и геодезическими из фиксированной точки в $D$ с соответствующими углами для поверхностей постоянной нормальной кривизны, а также доказываем теоремы сравнения для опорных функций таких гиперповерхностей. Как следствие, мы получаем теорему прокатывания Бляшке.
A.A. Borisenko, K.D. Drach
Extreme properties of curves with bounded curvature on a sphere //
Journal of Dynamical and Control Systems,
(DOI) 10.1007/s10883-014-9221-z, 2014
We give a sharp lower bound on the area of the domain enclosed by an embedded curve lying on a two-dimensional sphere, provided that geodesic curvature of this curve is bounded from below. Furthermore, we prove some dual inequalities for convex curves whose curvatures are bounded from above.
Ключові слова: $\lambda$-convex curves \and reverse isoperimetric inequality \and Pontryagin's Maximum Principle
А.А. Борисенко, К.Д. Драч
О сферичности гиперповерхностей с ограниченной снизу нормальной кривизной //
Матем. сб.,
204 (11): 21-40, 2013
Для риманова многообразия $M^{n+1}$ и компактной области $\Omega \subset M^{n+1}$, граница которой есть гиперповерхность $\partial\Omega$ ограниченной снизу нормальной кривизны, мы приводим оценки угла между геодезической, проведенной из некоторой внутренней фиксированной точки $O$ области $\Omega$ в точку на $\partial\Omega$ и внешней нормалью к поверхности в этой точке в зависимости от расстояния между $O$ и $\partial\Omega$. Также, оценивается ширина сферического слоя, в который можно поместить такую гиперповерхность.
Ключові слова: риманово многоообразие, секционная кривизна, нормальная кривизна гиперповерхности, теоремы сравнения, $\lambda$-выпуклая гиперповерхность
А.А. Борисенко, К.Д. Драч
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых //
Доповіді НАН України,
(6): 7-11, 2011
Отримано оцiнки кута мiж радiусом-вектором iз точки всерединi замкненої регулярної кривої та її зовнiшньою нормаллю в залежностi вiд вiдстанi вiд точки до кривої. Розглянуто випадки повного однозв’язного двовимiрного многовиду сталої та несталої гауссової кривини.
K. Drach, M. Mixer
Minimal covers of equivelar toroidal maps //
Ars Mathematica Contemporanea,
9:2, 77-91, 2015
Given any equivelar map on the torus, it is natural to consider its covering maps. The most basic of these coverings are finite toroidal maps or infinite tessellations the Euclidean plane. In this paper, we prove that each equivelar map on the torus has a unique minimal toroidal rotary cover and also a unique minimal toroidal regular cover. That is to say, of all the toroidal rotary (or regular) maps covering a given map, there is a unique smallest. Furthermore, using the Gaussian and Eisenstein integers, we construct these covers explicitly.
Ключові слова: Minimal covers, Regular and rotary maps, Gaussian and Eisenstein integers
К.Д. Драч, Ю.В. Еременко, А.В. Кримова
Унікальноскладеність фігур на сфері //
Препрінт,
2014
У цій статті розглядається поняття «рівноскладеність» та «унікальноскладеність» на одиничній сфері. Ми доводимо, що на сфері круг та лінза, тобто перетин двох кругів однакового радіусу, є унікальноскладеними фігурами.
Ключові слова: сферична геометрія, опуклі фігури, унікальноскладеність, рівноскладеність
