K. Drach
Some sharp estimates for convex hypersurfaces of pinched normal curvature //
Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry,
vol. 11, No. 2, pp. 111-122, 2015
For a convex domain $D$ bounded by the hypersurface $\partial D$ in a space of constant curvature we give sharp bounds on the width $R-r$ of a spherical shell with radii $R$ and $r$ that can enclose $\partial D$, provided that normal curvatures of $\partial D$ are pinched by two positive constants. Furthermore, in the Euclidean case we also present sharp estimates for the quotient $R/r$. From the obtained estimates we derive stability results for almost umbilical hypersurfaces in the constant curvature spaces.
Ключевые слова: convex hypersurface, spaces of constant curvature, pinched normal curvature, $\lambda$-convexity, spherical shell
А.А. Борисенко, К.Д. Драч
Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей //
Доповіді НАН України,
(3): 11-16, 2015
Для выпуклой области $D$, границей которой является гиперповерхность $\partial D$ ограниченной нормальной кривизны, мы приводим доказательство теорем сравнения углов между $\partial D$ и геодезическими из фиксированной точки в $D$ с соответствующими углами для поверхностей постоянной нормальной кривизны, а также доказываем теоремы сравнения для опорных функций таких гиперповерхностей. Как следствие, мы получаем теорему прокатывания Бляшке.
A.A. Borisenko, K.D. Drach
Extreme properties of curves with bounded curvature on a sphere //
Journal of Dynamical and Control Systems,
(DOI) 10.1007/s10883-014-9221-z, 2014
We give a sharp lower bound on the area of the domain enclosed by an embedded curve lying on a two-dimensional sphere, provided that geodesic curvature of this curve is bounded from below. Furthermore, we prove some dual inequalities for convex curves whose curvatures are bounded from above.
Ключевые слова: $\lambda$-convex curves \and reverse isoperimetric inequality \and Pontryagin's Maximum Principle
А.А. Борисенко, К.Д. Драч
О сферичности гиперповерхностей с ограниченной снизу нормальной кривизной //
Матем. сб.,
204 (11): 21-40, 2013
Для риманова многообразия $M^{n+1}$ и компактной области $\Omega \subset M^{n+1}$, граница которой есть гиперповерхность $\partial\Omega$ ограниченной снизу нормальной кривизны, мы приводим оценки угла между геодезической, проведенной из некоторой внутренней фиксированной точки $O$ области $\Omega$ в точку на $\partial\Omega$ и внешней нормалью к поверхности в этой точке в зависимости от расстояния между $O$ и $\partial\Omega$. Также, оценивается ширина сферического слоя, в который можно поместить такую гиперповерхность.
Ключевые слова: риманово многоообразие, секционная кривизна, нормальная кривизна гиперповерхности, теоремы сравнения, $\lambda$-выпуклая гиперповерхность
А.А. Борисенко, К.Д. Драч
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых //
Доклады НАН Украины,
(6): 7-11, 2011
Получены оценки угла между радиус-вектором из точки внутри замкнутой регулярной кривой и ее внешней нормалью в зависимости от расстояния от точки до кривой. Были рассмотрены случаи полного односвязного двумерного многообразия постоянной и непостоянной гауссовой кривизны.
K. Drach, M. Mixer
Minimal covers of equivelar toroidal maps //
Ars Mathematica Contemporanea,
9:2, 77-91, 2015
Given any equivelar map on the torus, it is natural to consider its covering maps. The most basic of these coverings are finite toroidal maps or infinite tessellations the Euclidean plane. In this paper, we prove that each equivelar map on the torus has a unique minimal toroidal rotary cover and also a unique minimal toroidal regular cover. That is to say, of all the toroidal rotary (or regular) maps covering a given map, there is a unique smallest. Furthermore, using the Gaussian and Eisenstein integers, we construct these covers explicitly.
Ключевые слова: Minimal covers, Regular and rotary maps, Gaussian and Eisenstein integers
К.Д. Драч, Ю.В. Еременко, А.В. Крымова
Уникальносоставленность фигур на сфере //
Препринт (укр),
2014
В этой статье рассматривается понятие «равносоставленность» и «уникальносоставленность» на единичной сфере. Мы доказываем, что на сфере круг и линза, то есть пересечение двух кругов одинакового радиуса, являются уникальносоставленными фигурами.
Ключевые слова: сферическая геометрия, выпуклые фигуры, уникальносоставленность, равносоставленность
