% Остання правка воскресенье, Май 17, 2015  11:28
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\oddsidemargin=-0.48in \topmargin=-1.087in \textwidth=6.807in
\textheight=10.18in
%\textwidth=5.827in

\begin{document}
%\Large
\setcounter{section}{15}

\section{Перша квадратична форма} % З методички все
Нехай $\vec{a}$ та $\vec{b}$ --- дотичні вектори, записані у вигляді $\vec{a}=a^1\partial_1\vec{r}+ a^2\partial_2\vec{r}$. Якщо
$\vec{b}=b^1\partial_1\vec{r}+b^2\partial_2\vec{r}$, тоді їх скалярний добуток, як добуток векторів у $R^3$, запишеться у вигляді білінійної форми на дотичних векторах до поверхні:
$$
\langle\vec{\vphantom{b}
a},\vec{b}\rangle=a^1b^1\langle\partial_1\vec{r},\partial_1\vec{r}\rangle+\left(a^1b^2+a^2b^1\right)
\langle\partial_1\vec{r}, \partial_2\vec{r}\rangle+a^2b^2\langle\partial_2\vec{r},\partial_2\vec{r}\rangle.
$$
При $\vec{\vphantom{b} a}=\vec{b}$ ця форма приймає вигляд квадратичної та називається першою
квадратичною формою поверхні.

Функція $g_{ik}=\langle\vec{r_i},\vec{r_k}\rangle$ називається коефіцієнтом першої квадратичної форми, а
матриця $G=(g_{ik})$ --- матрицею першої квадратичної форми поверхні.
\begin{enumerate}
\item Знайдіть I квадратичну форму поверхні обертання 2-го порядку.
\item Знайдіть першу квадратичну форму прямого гелікоїду
        $$x=u\cos{v},y=u\sin{v},z=av$$
\item Обчисліть першу квадратичну форму поверхонь:
\begin{enumerate}
\item $\vec{r}=\vec{\rho}(s)+\lambda\vec{e},\ \ \vec{e}=const$;
\item  $\vec{r}=v\vec{\rho}(s)$;
\item $\vec{r}=\vec{\rho}(s)+\lambda\vec{e}(s),|\vec{e}(s)|=1$;
\item $\vec{r}=\rho(s)+\vec{\nu}(s)\cos\phi+\beta(s)\sin\phi$;
\item $\vec{r}=(a+b\cos{v})\cos{u},(a+b\cos{v})\sin{u},b\sin{v}$;
\item $\vec{r}=\left\{v\cos{u},v\sin{u},ku\right\}$;
\item $\vec{r}=\vec{\rho}(s)+\lambda\vec{\nu}(s)$;
\item $\vec{r}=\vec{\rho}(s)+\lambda\vec{\beta}(s)$.
\end{enumerate}
\item Покажіть, що при відповідному виборі криволінійних координат обертання на поверхні обертання її перша квадратична форма може бути приведена до вигляду
            $$ds^2=du^2+G(u)dv^2.$$
\item  Знайдіть рівняння ліній, що перетинають меридіани поверхні обертання під постійним кутом $\alpha$ (локсодроми).
    Знайдіть рівняння локсодром на сфері.
\item Якщо сімейство ліній на поверхні задано диференціальним рівнянням $ A (u, v) du + B (u, v) dv = 0 $, то рівняння ортогональних траєкторій, тобто ліній, що перетинають задані лінії під прямим кутом, має вигляд $$ (BE-AF) du + (BF-AG) dv = 0. $$
Доведіть. Знайдіть ортогональні траєкторії прямолінійних твірних конуса.
 \item Складіть диференціальне рівняння ортогональних траєкторій сімейства ліній
          $\varphi(u,v)=const$ на поверхні.
     \begin{enumerate}
        \item  Знайдіть ортогональні траєкторії сімейства ліній $ u + v = const $, що лежать на сфері
         $r(u,v)=\{R \cos u\cos v,\ R \cos u\sin v,\ R\sin u\};$
        \item знайдіть ортогональні траєкторії сімейства ліній $ u = Ce ^ v $, що лежать на косому
               гелікоїді $x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=u+v;$
        \item  на круговому конусі $x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=u$ розглядається сімейство
               ліній  $v=u^2+\alpha$, де $\alpha$ --- параметр. Знайдіть сімейство їх ортогональних траєкторій.
     \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
            \item Виведіть умову ортогональності двох сімейств ліній на поверхні, що визначаються
              диференціальним рівнянням $$P(u,v)du^2+Q(u,v)dudv+R(u,v)dv^2=0.$$
            \item Доведіть, що на прямому гелікоїду $$x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=av$$  диференціальне рівняння
                  $du^2-(u^2+a^2)dv^2=0$ задає ортогональну мережу.
        \end{enumerate}
  \item  \begin{enumerate}
             \item Доведіть, що лінії, які в кожній своїй точці ділять навпіл кути між координатними лініями, задаються диференціальним рівнянням
                   $$\sqrt{E}du\pm\sqrt{G}dv=0.$$
             \item Знайдіть рівняння ліній на прямому гелікоїді $x=u\cos v,\ y=u\sin v ,\ z=av$,
                    ділять навпіл кути між координатними лініями.
             \item Знайдіть рівняння ліній на сфері $x=a\cos u\sin v,\ y=a\sin u\sin v,\ z=a\cos v$,
                   ділять кути між паралелями та меридіанами навпіл.
          \end{enumerate}
   \item Знайдіть периметр і внутрішні кути криволінійного трикутника $u=\pm av^2/2,\ v=1$,
         розташованого на поверхні, у якої $$ds^2=du^2+sh^2 udv^2$$
   \item Знайдіть кут між лініями $v=u+1$ і $v=3-u$ на поверхні $x=u\cos v,y=u\sin v,z=u^2.$
   \item Знайдіть площу чотирикутника на прямому гелікоїді $x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=av$, обмеженого лініями $u=0,\ u=a,\ v=0,\ v=1.$
\end{enumerate}
%\newpage
\end{document}