% Остання правка воскресенье, Май 17, 2015  10:57
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\oddsidemargin=-0.48in \topmargin=-1.087in \textwidth=6.807in
\textheight=10.18in
%\textwidth=5.827in

\begin{document}
%\Large
\setcounter{section}{13}

\section{Способи завдання поверхонь} % З методички все

\begin{enumerate}
\item Для того щоб в кожній точці деякої області задання параметрів $u$ й $v$ вектор $ \vec r(u,v) $ був ортогональним до векторів $ \partial_u\vec r $ й $\partial_v\vec r, $ необхідно і достатньо, щоб $ \vert\vec r(u,v)\vert=const. $ Доведіть.
\item Нехай $\vec r=\vec r(u,v) $ --- вектор-функція класу $ C^1 .$
Для того щоб вектор $ \vec r(u,v) $ мав постійний напрямок, необхідно і достатньо, щоб в області
зміни параметрів $ u $ й $ v $ вектор
$ \vec r(u,v) $ був колінеарним вектору $ \partial_u\vec r $ і вектору
$ \partial_v\vec r. $ Доведіть.
\item Для того щоб образ гладкої вектор-функції $ \vec r=\vec r(u,v), $
задовільняв умові $ \partial_u\vec r\not\parallel\partial_v\vec r, $
належав деякій площині, необхідно і достатньо, щоб вектори
$ \partial_u\vec r $ й $ \partial_v\vec r $ були паралельні цій площині.
Доведіть.
\item В площині $xO z$ задана лінія $x=f(u),z=g(u),$ яка не перетинає вісь $Oz. $
Знайдіть параметризацію поверхні при обертанні цієї кривої навколо вісі $Oz. $
\item Напишіть рівняння катеноїда, який утворюється при обертанні ланцюгової лінії $x=a\ch(\frac{u}{a}),y=0,z=u $ навколо вісі $ Oz .$
\item Запишіть рівняння псевдосфери, яка утворюється при обертанні трактриси $ x=a\sin{u},y=0,z=a(\ln{\tg{\frac{u}{2}}})+\cos{u}) $ навколо вісі $ Oz .$
\item Запишіть рівняння циліндричної поверхні, для якої крива $\vec {\rho}=\vec {\rho}(u) $ є напрямною, а твірні паралельні
вектору $\vec e. $
\item Напишіть параметричне рівняння циліндричної поверхні, твірні якої паралельні вектору $ \vec a=\{1,2,3\}, $ а напрямна
задана рівняннями $x=u,y=u^2,z=u^3.$
\item Напишіть неявне рівняння циліндричної поверхні з напрямною кривою $ x=\cos{u},y=\sin u ,z=0$ і прямолінійними твірними, паралельними
вектору $ \vec a=\{-1,3,-2\}. $
\item Дана поверхня
$$ x=3u+v^2+1,y=2u+v^2-1,z=-u+2v: $$
\begin{enumerate}
\item покажіть, що ця поверхня циліндрична;
\item напишіть рівняння якої-небудь її твірної;
\item знайдіть прямолінійну твірну, яка проходить через точку $M(u=2$, $v=3$).
\end{enumerate}
\item Задана точка $M(a,b,c)$ і лінія $L$.
$$ x=f(u),\ y=\varphi(u),\ z=\psi(u). $$
Напишіть в параметричному і неявному вигляді рівняння конуса з вершиною в $M$ і з напрямною лінією $L$.
\item Складіть рівняння конуса, який утворюється прямими, що проходять
через точку $M(a,b,c)$ й перетинає параболу $$ y^2=2px\ ,\ z=0.$$
\item Складіть рівняння конуса, який має вершину у точці $M(-1,0,0)$ і описаний навколо параболоїда $ 2y^2+z^2=4x. $
\item Напишіть параметричне рівняння фігури, яка утворена дотичними до $ \vec \rho =\vec \rho(u). $
\item Коло радіусу $a$ рухається так, що його центр креслить лінію $ \vec \rho =\vec \rho(s) $, а площина кола, є нормальною площиною до цієї лінії в кожній точці. Складіть рівняння поверхні описаної колом (така поверхня називається трубчастою).
\item Поверхня, яка дозволяє параметризацію $\vec r=\vec r_1(u)
+\vec r_2(v) $, де $\vec r_1$, $\vec r_2 $ --- гладкі вектор-функції, називається поверхнею переносу. Покажіть, що поверхні переносу може бути
отримана рухом деякої лінії.
\item Покажіть, що еліптичний і гіперболічний параболоїди є поверхнями переносу.
\item Лінійчатою називається поверхня, що задається параметричним рівнянням $$\vec r(u,v)=\vec \rho (u)+v\vec a(u),$$
де $ \vec \rho =\vec \rho(u) $ --- вектор-функція, що задає деяку криву,
$\vec a=\vec a(u)$ --- вектор-функція, що задає розподіл прямолінійних твірних лінійчатої поверхні. Складіть рівняння лінійчатої поверхні, твірні якої паралельні площині $ y-z=0 $ і перетинають параболи
$ y^2=2px $, $ z=0 $ й $z^2=-2px $, $ y=0 $.
\item Складіть рівняння лінійчатої поверхні, утвореної прямими, які перетинають криву $\vec \rho=\{u,u^2,u^3\} $, і паралельні площині $xOy$ й перетинають вісь $Oz$.
\end{enumerate}
%\newpage
\section{Дотична площина, нормаль до поверхні} % З методички все
Нехай $\vec{r}=\vec{r}(u^1,u^2)$ векторне рівняння поверхні. Оскільки  $\mathrm{rg} \,d\vec{r}=2$ для
всіх $(u^1,u^2)$, то в кожній точці поверхні вектори
$$
\partial_1\vec{r}\,=\frac{\partial}{\partial u^1}\vec{r}\quad \mbox{і}\quad
\partial_2\vec{r}\,=\frac{\partial}{\partial u^2}\vec{r}
$$
лінійно незалежні і утворюють базис дотичної площини поверхні у відповідній
точці. Вектор
$$
\vec{N}=\partial_1\vec{r}\times\partial_2\vec{r}
$$ ортогональний до дотичної площини й називається вектором нормалі.

Рівняння дотичної площини та нормалі поверхні має вигляд:
$$
\begin{array}{c}
\left (\vec{R}-\vec{r}(u^1,u^2),\partial_1\vec{r},\partial_2\vec{r}\right )=0;\\
\vec{R}(t)=\vec{r}(u^1,u^2)+t\cdot\partial_1\vec{r}\times\partial_2\vec{r}
\end{array}
$$

Якщо поверхня задана неявно у вигляді $ f (x, y, z) = c $, то поле нормалей поверхні становить поле
градієнта функції $ f $, тобто  $\vec{N}=\nabla f$.

\begin{enumerate}
\item На поверхні $ x=u+\cos v $, $ y=u-\sin v $, $ z=\lambda u $
дана точка $ M(u=1,v=\pi/2) $:
\begin{enumerate}
\item напишіть рівняння дотичних прямих і нормальних площин до ліній $ u=1 $, $ v=\pi/2 $ в точці М;
\item покажіть, що дотична в точці М до лінії $ u=\sin v $ є дотичною до лінії $ u = 1 $ в цій же точці.
\end{enumerate}
\item Напишіть рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні
$ x=u+v $, $ y=u-v $, $ z=uv $ в точці $ M(u=2,v=1).$
\item Напишіть рівняння дотичної площини та нормалі в точці $ M(1,3,4) $
поверхні $ x=u,y=u^2-2uv,z=u^3-3u^2v.$
\item Складіть рівняння дотичної площини та нормалі до прямого гелікоїда
$$ x=u\cos v, y=u\sin v, z=av. $$
Дослідіть поведінку нормалі при її зміщенні уздовж координатних ліній.
\item Покажіть, що дотична площину в довільній точці поверхні
$z= f(x-az,y-bz) $ паралельна фіксованому напрямку.
\item Доведіть, що дотична площину до трубчастої поверхні паралельна фіксованому напрямку.
\item Покажіть, що дотичні площини поверхні
$$ z=x\varphi (y/x) $$
проходять через початок координат.
\item Нехай поверхня є частина фігури, утвореної дотичними до лінії $ \bar r=\bar r(s) $. Напишіть рівняння дотичної площини в довільній точці поверхні. Дослідіть її поведінку при зсуві точки дотику вздовж прямолінійних твірних поверхні.
\item Покажіть, що дотична площина, проведена в будь-якій точці лінії
$ v=c $ на поверхні $ x=u\cos v, y=u\sin v, z=f(v)+au $, проходить через фіксовану пряму.
\item Поверхня утворена дотичними та кривою $ L $. Доведіть, що ця поверхня у всіх точках однієї й тієї ж дотичної до кривої $ L $ має одну і ту ж саму дотичну площину.
\item Поверхня утворена головними нормалями кривої $ L $. Складіть рівняння дотичній площині та нормалі в довільній точці поверхні.
\item Складіть рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні, утвореної бінормаль кривої $ L $.
\item Доведіть, що нормаль поверхні обертання збігається з головною нормаллю меридіана і перетинає вісь обертання.
\item Доведіть, що якщо всі нормалі поверхні перетинають одну і ту ж пряму, то поверхня буде поверхнею обертання.
\item Лінійчата поверхня називається розгорнутою, якщо у всіх точках довільної твірної дотична площина до поверхні одна й та ж.
\par Доведіть, що лінійчата поверхня
$$\bar{r}=\bar{\rho}(u)+v\vec{a}(u)$$
є розгорнутою тоді й тільки тоді, коли $(\rho',\alpha,a')=0$.
\item Доведіть, що будь-яка розгортається поверхня може бути розбита на наступні частини: 1) частину площині; 2) частину циліндра; 3) частину конуса; 4) частину фігури, утвореної дотичними до деякої неплоскою кривої.
\item Знайдіть поверхню, знаючи, що всі її нормалі перетинаються в одній точці.
\end{enumerate}

\end{document}