% Остання правка воскресенье, Апрель 5, 2015  18:53
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\oddsidemargin=-0.48in \topmargin=-1.087in \textwidth=6.807in
\textheight=10.18in
%\textwidth=5.827in

\begin{document}
%\Large
\setcounter{section}{11}

\section{Обгортка сім'ї кривих} % З методички
Обгортка або Обвідна сімейства кривих, це крива, що в кожній своїй точці є дотичною до деякої кривої сімейства.
Якщо сімейство кривих задано рівнянням $F( x, y,\alpha) = 0$. Тоді обгортку сімейства кривих визначається системою 
$$\left\{
   \begin{array}{ll}
     F( x, y,\alpha)& = 0 \\
   F_\alpha( x, y,\alpha) &= 0
   \end{array}
 \right.
$$

Зауважимо, що будь яка гладка крива, що не має прямолінійних ділянок, буде обгорткою своїх дотичних.
\begin{enumerate}
  \item Дослідити сімейства кривих ($ \alpha $ --- параметр) і зробити малюнок:
  \begin{enumerate}
    \item $\alpha^2x^2+y^2=\alpha x$;
    \item $x^2+2\alpha\,y=2xy$.
  \end{enumerate}
  \item   Знайти обгортку сімейства ліній ($ \alpha $ --- параметр сімейства):
  \begin{enumerate}
    \item $(x-\alpha)^2+(y-\alpha)^2=\alpha^2$;
    \item $x\cos\alpha+y\sin\alpha-h=0$;
    \item $y^2-(x-\alpha)^3=0$;
    \item $y^3-(x-\alpha)^2=0$;
    \item $3(y-\alpha)^2-2(x-\alpha)^3=0$.
  \end{enumerate}
  \item Знайти обгортку сімейства прямих, що утворюють з осями координат трикутники постійної площі  $S$.
  \item Знайти рівняння обгортки сімейства прямих, на яких лежить відрізок постійної довжини $ a $, якщо його кінці ковзають по осях прямокутної системи координат.
  \item Пряма обертається з постійною кутовою швидкістю навколо точки, рівномірно рухається по другий прямій. Знайти обгортку цього сімейства прямих.
  \item Знайти умови, яким повинні задовольняти точки обгортки сімейства ліній
  $$
  F(x,y,\alpha,\beta\,)=0,
  $$
  де $\alpha$ і $\beta$ пов'язані співвідношенням $\varphi(\alpha,\beta)=0$.
  \item Знайти обгортку сімейства ліній:
  \begin{enumerate}\large
    \item $\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}$, де $p+q=1$ ;
    \item $ \lambda\,x^2+\mu\, y^2=1$, де $\lambda+\mu=\lambda\,\mu$;
    \item $ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$, де $a+b=const$;
    \item $bx+ay=ap$, де $a+b=const$.
  \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\newpage
\section{Еволюта та евольвента} % З методички

Еволютою кривої $\gamma$ називається обгортка її нормалей. Рівняння еволюти:
$\vec \rho=\vec r+\frac{1}{k}\vec \nu$ або $$\left\{
   \begin{array}{ll}
     X &= x - y'\frac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'} \\
     Y &= y + x'\frac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'}
   \end{array}
 \right.
$$

Початкова крива $\gamma$ називається евольвентою своєї еволюти. Отже, евольвента --- це ортогональна траєкторія  сімейства дотичних до кривої $\gamma$. Зауважимо, що еволюта у кривої одна, а евольвент, тобто ортогональних траєкторій дотичних, --- нескінченно багато. Вони задаються рівнянням: $\vec{\rho} = \vec{r} + (Const - s(t))\frac{\vec{r'}}{|\vec{r'}|}$ або $$\left\{
   \begin{array}{l}
X(t) = x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt  \\
Y(t) = y(t) - \frac{y(t)'}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt   
\end{array}
 \right.
$$
\begin{enumerate}
  \item Скласти рівняння і накреслити графіки еволют наступних ліній:
  \begin{enumerate}
    \item $x=a\cos t,\ \ y=b\sin t$;
    \item $x=a\ch t,\ \ y=b\sh t$;
    \item $y=x^2$;
    \item $y=\ln x$.
  \end{enumerate}
  \item Скласти рівняння евольвент кола $x^2+y^2=a^2$ та зробіть малюнок.
  \item Скласти рівняння евольвенти ланцюгової лінії $y=a\ch (x/a)$, що проходить через її вершину, і зробити малюнок.
  \item Скласти рівняння евольвент параболи $x=t,\ \ y=\frac14 t^2$ і зробити малюнок.
  \item Другою еволютою кривої називається еволюта її еволюти. Знайти кривину другої еволюти.
\end{enumerate}
\end{document}