% Остання правка понедельник, Март 2, 2015  20:45
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\oddsidemargin=-0.48in \topmargin=-1.087in \textwidth=7.27in
\textheight=10.488in
%\textwidth=5.827in

\begin{document}
%\Large
\setcounter{section}{3}
\section{Особливі точки кривих} % Повністю = з методички
Крива $\gamma $  задається \textbf{параметрично} радіус-вектором $\bar{r}(t)\in C^\infty $. Нехай в точці $t_0$ похідна  $\bar{r}'(t_0)=0 $. Це може бути особлива точка або ж в ній <<невдала>> параметризація. Щоб це з'ясувати  беремо похідні вищого порядку від $\bar{r}(t)$ поки не отримаємо $\bar{r}^{(p)}(t_0)\neq 0$, але на цьому не зупиняємось і шукаємо наступну похідну $\bar{r}^{(q)}(t_0) \nparallel \bar{r}^{(p)}(t_0)$. Далі робимо висновок:
\begin{enumerate}
  \item Якщо $p$ --- непарне, то $\bar{r}(t_0)$ --- регулярна точка кривої $\gamma $  та $\bar{r}^{(p)}(t_0)$ --- напрямний вектор дотичної, при цьому:
  \begin{enumerate}
    \item Якщо $q$ --- парне, то  $\bar{r}(t_0)$ --- <<звичайна>> точка.
    \item Якщо $q$ --- непарне, то  $\bar{r}(t_0)$ --- точка перегину.
  \end{enumerate}
  \item Якщо $p$ --- парне, то  $\bar{r}(t_0)$ ---  точка повернення (касп) кривої $\gamma $ та $\bar{r}^{(p)}(t_0)$ --- напрямний вектор півдотичної, при цьому:
  \begin{enumerate}
    \item Якщо $q$ --- парне, то  $\bar{r}(t_0)$ --- першого роду (гілки по різні боки)
    \item Якщо $q$ --- непарне, то  $\bar{r}(t_0)$ --- другого роду (гілки в один бік)
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

Для \textbf{неявно} заданої кривої $\gamma $ рівнянням $F(x,y)=0 $ точка $(x_0,y_0) $ може бути особливою лише коли $F'_x(x_0,y_0)=0 $ та $F'_y(x_0,y_0)=0 $. Якщо другі похідні одночасно не нульові, то вони визначають криву другого порядку, і точка $(x_0,y_0) $ буде особливою в залежності від знаку  $F_{xx}F_{yy}-F^2_{xy} $:
\begin{description}
  \item[$F_{xx}F_{yy}-F^2_{xy}>0 $] --- \emph{ізольована} точка.
  \item[$F_{xx}F_{yy}-F^2_{xy}<0 $] --- точка самоперетину або \emph{вузлова}.
  \item[$F_{xx}F_{yy}-F^2_{xy}=0$] --- точка \emph{загострення} (повернення) або точка \emph{самодотику} різних видів.
\end{description}

\begin{enumerate}
    \item Знайдіть особливі точки та випишіть рівняння дотичних до наступних кривих
    \begin{enumerate}
    \item $ x=a \cos^3 t,\ \ y=a \sin^3 t$  \ \  \ \ \  \ \ \ \ \  \ \ \        (астроїда);
    \item $ x=a (t-\sin t),\ \ y=a (1-\cos t) $   \ \ \      (циклоїда);
    \item $ x=\frac{t^2}{1-t},\ \ y=\frac{t^3}{1-t^2};$
    \item $ x=\frac{t^2}{1-t^2},\ \ y=\frac{t^3}{1-t^2};$
    \item $x=t^4,\ \ y=t^2-t^5$;
    \end{enumerate}
    \item Дослідіть та побудуйте криві
    \begin{enumerate}
    \item $x=\frac{3at}{1+t^3},\ \ y=\frac{3at}{1+t^3}$  \ \  (декартів лист);
    \item $x=\frac{t^2}{1+t^2},\ \ y=\frac{t^3}{1+t^2}$;
     \item $x=\frac{t^2}{1+t^2},\ \ y=\frac{(1-t^2)}{1+t^2}$
    \end{enumerate}
   \item Знайдіть особливі точки кривих:
    \begin{enumerate}
    \item $x^3-2x^2-y^2+x=0;$
    \item $(2a-x)y^2-x^3,\ \  a>0;$
    \item $x^4+y^4+x^2-y^2=0;$
    \item $x^3-27(x-y)^2=0;$
    \item $x^5-x^4+4x^2y-4y^2=0;$
    \item $x^4+x^2y^2-18x^2y+9y^2=0;$
    \item $x^6-x^4+y^2=0;$
    \item $x^3-x^2+xy^2-y^2=0;$
    \end{enumerate}

   \item При яких %якому співвідношенні
   $a$ та $ b$  крива $y^2=x^3+ax+b$  має особливу точку?
\end{enumerate}

\section{Довжина дуги} % Повністю = з методички
Довжина відрізка кривої $\gamma $, яка задається  радіус-вектором $\bar{r}(t)=\{x^i\}$ буде
$$s[{t_1},{t_2}] = \int_{t_1}^{t_2}|\bar{r}'| ds = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot x^i \dot x^i}\, dt,$$
де $t_1$ і $t_2$ відповідають початку та кінцю відрізка кривої.
\begin{enumerate}
\item Обчислити довжину дуги між двома довільними точками наступних ліній:
    \begin{enumerate}
    \item $y=x^{2/3}$;
    \item $y=x^2$;
    \item $x=a(\cos t+t\sin t),\ \ y=a(\sin t-t\cos t)$;
    \item $x=a\big(\ln\tg(t/2)+\cos t\big),\ \ y=a\sin t$.
    \end{enumerate}
\item  Обчислити довжину дуги на заданому проміжку наступних ліній:
    \begin{enumerate}
    \item $y=\ln\cos x,$ \quad $x\in[0,\pi/3]$ ;
    \item $y=\frac14 x^2-\frac12 \ln x,$ \quad $x\in[1,4]$;
    \item $x=t-\frac12\sh 2t,\ \ y=2\ch t,$ \quad $t\in[0,2]$;
    \item $x=8at^3,\ \ y=3a(2t^2-t^4),$ \quad $t\in[0,\sqrt{2}]$.
    \end{enumerate}
\item Знайти довжину гвинтової лінії
$$
x=\cos t,\ \ y=a\sin t,\ \ z=bt
$$
від точки перетину з площиною $ (x, y) $ до довільної точки $ M $.
\item Знайти довжину одного витка лінії
$$
x=a(t-\sin t),\ \ y=a(1-\cos t),\ \ z=4a\cos(t/2)
$$
між двома її точками перетину з площиною $(x,z)$.
\item Знайти довжину дуги лінії
$$
x^3=3a^2y,\ \ 2xz=a^2
$$
між площинами
    $$y=\frac{a}{3},\ \ y=9a.$$
  \item Знайти вираз для довжини дуги кривої, заданої в полярних координатах.
    \item Знайти довжину дуги логарифмічної спіралі $\rho=ae^{m\varphi}$.
    \item Знайти довжину всієї лінії
    \begin{enumerate}
    \item $\rho=a(1+\cos\varphi);$
    \item $\rho=a\cos^{4}(\varphi/4)$.
    \end{enumerate}
    \item Знайти вираз диференціала довжини дуги лінії в сферичних координатах.
    \item Знайти вираз диференціала довжини дуги лінії в циліндричних координатах.
    \item Скласти параметричне рівняння кола, взявши за параметр довжину дуги.
    \item Скласти параметричне рівняння ланцюгової лінії
                 $$y=a\ch(x/a)$$
         прийнявши за параметр довжину дуги, починаючи від вершини у бік додатних абсцис.
    \item Написати параметричне рівняння гвинтової лінії, прийнявши за параметр довжину дуги.
\end{enumerate}
\section{Кривина кривої} % Повністю = з методички
Для натуральної параметризації $k =|\bar{r}''(s)|$, та  $k = \frac{\left| [\bar{r}'(t),\ \bar{r}'' (t)] \right|}{\left| \bar{r}' (t) \right|^3}$,
для довільної вектор-функції $\bar{r}(t)$.
В координатах
$$k=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}$$
Якщо крива пласка, то $k= \frac{y''x'-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$ для параметричного задання. Для неявного $F(x,y)=0$:
$$k= \frac{F_{xx}''F_y'^2-2F_{xy}''F_x'F_y'+F_{yy}''F_x'^2}{(F_x'^2+F_y'^2)^{3/2}}.$$
Або в загальному вигляді $k=div\left( \frac{grad\, F}{|grad\, F|}\right)$.

\begin{enumerate}
 \item Знайти кривину наступних ліній:
    \begin{enumerate}
    \item $y=a\ch(x/a)$;
    \item $y^{2}=2px$;
    \item $x=a\ch t,\ \ y=b\sh t$;
    \item $x=a(t-\sin{t}),\ \ y=a(1-\cos{t})$;
    \item $x=2t,\ \ y=\ln{t},\ \ z=t^{2}$
    \item $x=\cos^{3}{t},\ \ y=\sin^{3}{t},\ \ z=\cos{2t}$;
    \item $y^{2}=x,\ \ x^{2}=z$;
    \item $x=a\cos{t},\ \ y=a\sin{t},\ \ z=bt$.
    \end{enumerate}
\item Знайти кривину лінії, яка задана рівнянням
    \begin{enumerate}
    \item $\rho=\rho(\varphi)$;
    \item $F(x,y)=0$.
    \end{enumerate}
\item Знайти кривину наступних ліній:
    \begin{enumerate}
    \item $\rho=ae^{h\varphi};$
    \item $\rho=a(1+\cos\varphi)$
    \item $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
    \item $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
    \end{enumerate}
\item Обчислити кривину кривої $(x-y)^2-x^5=0$ в точці $A(1,0)$.
\end{enumerate}
\end{document}